Soal Olimpiade Sains Nasional Bidang Guru Matematika SMP

soal ada di bagian akhir

1.       Pembahasan:

Empatobjeklangsungdalammatematikamenurut Gagne

1. Fakta,

2. Konsep,

3. Prinsip,

4. Keterampilan.

2.       Pembahasan:

EmpattahapanpemecahanmasalahmenurutPolya

1. Memahamimasalah,

2. Merencanakanpemecahanmasalah,

3. Melaksanakanrencana,

4. Melihatkembali.

3.       Pembahasan:

Lintasanbelajarkonsepluaslingkaran

a.       Mengingatkankembalitentangluaspersegipanjang,unsur-unsurlingkaran,kelilinglingkaran, ciri-cirisudutpusat,panjangbusur,danjuringlingkaran.Panjangbusursebandingdengansudutpusatyang menghadapnya.Begitupunluasjuringsebandingdengansudutpusatyang bersesuaiandenganjuringtersebut.

b.       Menggambarsudutpusatpanjangbusurdanluasjuringuntukmengetahuihubunganantarasudutpusatdenganpanjangbusurlingkarandanhubunganantarasudutpusatdenganluasjuringlingkaran.

c.       Mendiskusikantentangpemberiantugasberikut.

1)     Buatlahlingkaranpadakertasberpetakdenganjari-jari 8 cm

2)     Hitunglahbanyaknyapetak-petakpersegisatuanyangdimuatdalamlingkarandenganaturanjikasamaataulebihdarisetengahpetakpersegisatuandihitungsatu,sedangkanyangkurangdarisetengahpetaktidakdihitung!

3)     Banyakpetakyangterhitungadalahmendekatiluaslingkaranyangsebenarnya

d.       Membahaspenggunaanmedia pembelajaran

LuasJajarGenjang = alas x tinggi

= Setengahkelilinglingkaran ×jari-jari(r)

=  K ×r

=  ×2 r ×r

= r2

LuasLingkaran= Luaspersegipanjang L = r²

4.       Pembahasan:

LEMBAR KERJA SISWA

Tujuan :Siswadapatmenentukansukuke-n suatubarisanaritmetika.

Prasyarat :Siswamempunyaikompetensibarisanbilangan.

Siswamempunyaikompetensipenyelesaianpersamaan linear duavariabel.

BarisanAritmetika

Perhatikanbarisanbilangan di bawahini, dantentukan 3 sukuberikutnya:

(a) 2, 4, 6, 8, ......, ......, ......

(b) 65, 60, 55, 50, ......, ....., ......

(c) √3,2√3,3√3,4√3, ......, ......, ......

Untukbarisanbilangan (a) 𝑈2−𝑈1= .......

𝑈3−𝑈2= .......

𝑈4−𝑈3= .......

Apabilaselisihdariduasuku yang berdekataniniselalutetapataubernilaisama, makaselisihtetapinidisebutdenganbedabarisanbilangan.

Padabarisanbilangan (a) beda= ......

Padabarisanbilangan (b) beda= ......

Padabarisanbilangan (c) beda= ......

DefinisiBarisanAritmetika

Barisanbilangan𝑈1,2,𝑈3,𝑈4,…,𝑈𝑛disebutbarisanaritmetikajika

𝑈2−𝑈1=𝑈3−𝑈2=𝑈4−𝑈3= .............=𝑈𝑛−𝑈𝑛−1= bilangantetap𝑏.

Bilangantetap𝑏disebutbedadaribarisanaritmetika.

Berikutini kalian akanmenurunkanrumussukuke-n, 𝑈𝑛adalahbarisanaritmetika.

Misalkan𝑈1,2,𝑈3,𝑈4,…,𝑈𝑛adalahbarisanaritmetikadenganbeda𝑏, maka: 𝑈1=𝑎𝑈2−𝑈1=𝑏⇒𝑈2=𝑈1+𝑏=𝑎+𝑏

𝑈3−𝑈2=𝑏⇒𝑈3=𝑈2+𝑏= ...... + ...... + ...... = ..........

𝑈3−𝑈2=𝑏⇒𝑈3= ...... + 𝑏 = ...... + ...... + ...... = ..........

Coba kalian amati𝑈1,2,𝑈3, dan𝑈4, bagaimanapola𝑈2,𝑈3,𝑈4 jikadibandingkandengan𝑈1.

Dengandemikianuntuksukuke-n, 𝑈𝑛= ...... + ...... = ..........

5.       Pembahasan:

DiketahuiTina :Sayatidakmelakukannya.

Andi :Sayatidakmelakukannyadan Tina jugatidakmelakukannya.

Mira :SayatidakmelakukannyadanAndijugatidakmelakukannya.

Sari : Tina tidakmelakukannyadanAnditidakmelakukannya.

Untukmengetahuisiapa yang kemungkinanmemecahkan pot bunga, cobaperhatikanbeberapakasusberikut.

Kasus1 :Jika Tina Jujur, makaAndimungkinjugajujur

Kasus2 :Jika Tina berbohong, makaAndipastiberbohong

Kasus3 :JikaAndiJujur, makakemungkinan Mira jugajujur

Kasus4 :JikaAndiberbohong, maka Mira pastijugaberbohong

Kasus5 :Jika Tina JujurdanAndiJujur, maka Sari pastijujur

Kasus6 :Jika Tina berbohongdanAndiberbohong, maka Sari pastiberbohong

Kasus7 :Jika Tina JujurtapiAndiberbohong, maka Sari berbohong

Kasus8 :Jika Tina berbohongtetapiAndiJujur, maka Sari berbohong

Dengandemikiandapatdisimpulkanbahwakemungkinanbesar yang berbohongadalah Sari

Jadi, yang memecahkan pot bunga Bu Sitikemungkinanbesaradalah Sari

6.       Pembahasan :

DiketahuiAldimempunyai4bolabiru,7bolamerah,dan13bolahijau,sehinggatotalbolaadasebanyak 24 bola

Kemudianuntukmengetahuiberapabanyakminimumpengambilanbolaakanterambil3bola untuksetiapwarna, perhatikanuaraiberikut.

a)     Jikamengambil9bola,makakemungkinanyangterambiladalah7bolamerahdan2bola biru. Dalamkondisiinimasihbelumada3 bolahijau

b) Jikamengambil13bola,makakemungkinanyangterambiladalah13bolahijausaja.Dalamkondisiinimasihbelumada3 bola birudan 3 bolamerah

c)     Jikamengambil20bola,makakemungkinanyangterambiladalah13bolahijaudan7bola merah. Dalamkondisiinimasihbelumada3 bolabiru

d)     Jikamengambil 22 bola,makakemungkinanyang terambiladalah 13 bolahijau, 7 bola merahdan 2 bola biru. Dalamkondisiinimasih bola biruyangterambilmasihkurang1

Dengandemikian, pengambilan minimumyangmungkin = 13+7 +3 =23

Jadi,minimumbolayangharusdiambilAldiuntukmemastikanterambil3bolauntuksetiapwarnaadalahsebanyak23 bola

7.       Pembahasan :

Buat rumus untuk

Maka:

sebanyak 1005 angka

               

8.       Pembahasan :

Perhatikan bentuk

Jumlah digit-digit dari  dapat dihitung sebagai berikut:

Karena , maka jumlah digit-digit F adalah

Perhatikan bahwa  tidak habis dibagi , maka  tidak habis dibagi . Hal ini berarti  tidak habis membagi , untuk . Jadi, satu-satunya nilai yang memenuhi agar  habis membagi  adalah

9.       Pembahasan :

KecepatanDonamengerjakantugasperjam = bagian

KecepatanDonimengerjakantugasperjam=  bagian

Lama waktumengerjakan = 07.30 s/d 10.10 – 25 menit (istirahat)

                                                = 2 jam 15 menitatau 2  jam

MisalkanDonadanDonimengerjakansoalbersamaselama x jam, makadiperolehsebuahpersamaansebagaiberikut :

Kerjabersama + kerjaDoni( sendiri ) = 1 bagian

                                     (  + )x +  (2  - x ) = 1

 x + – x = 1

x – x = 1 –

         x =

                                                                    x = 1

Jadi, lama DonadanDonimengerjakantugasbersamasampaikertashabisadalah 1 jam daripukul 07.45 atautepatnyapukul 07.45 + 01.00 = 08.45   

10.  Pembahasan :

Panjangsisisegitiga 1 = b

Panjangsisisegitiga 2 =

Panjangsisisegitiga 3 =

Panjangsisisegitiga 4 =

Dari sinidapatkitatarikhubungan :

Panjangsisisegitigake-n =

Ditanyaluassegitiga ke-11

Panjangsisinya: 

Tinggi:

                Luas :  alas tinggi

               

11.  Pembahasan :

F(x) tidakdiketahuisehinggauntukmemperolehf(7) dengancaraberikut:

Untuk x=10, didapatkan + =  .

Diperoleh  ………(1)

Untuk x=3, didapatkan + =  .

Diperoleh  …………(2)

Eliminasipersamaan(1) dan (2),

  ( 10)                      

  ( )                       

                                                                       

                                                                       

                                                                        = 

                                                                       

12.   Pembahasan :

Sebelumnya, kita ubah bentuk  menjadi:

Bentuk terakhir ekuivalen dengan bentuk   .

Dengan demikian,

Sehingga

13.  Pembahasan :

Misal: banyaknya dodol = d, dan banyaknya anak = a

Maka:

-          Untuk kasus pertama, kita dapat membuat persamaan matematika, dimana:

d = 2a + 2 .............. (1)

-          Untuk kasus kedua, terdapat 2 anak yang tidak mendapatkan bagian dodol, dan seorang anak yang mendapatkan 2 dodol. Maka banyaknya anak yang mendapatkan bagian 3 dodol adalah: (a – 3). Sehingga dapat dibuat persamaan matematika sbb:

d = 3(a – 3) + 2 ...... (2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

2a + 2 = 3(a – 3) + 2

 2a = 3a – 9

 a = 9

Sehingga: d = 2a + 2 = 2  9 + 2 = 18 + 2 = 20

Jadi, banyaknya dodol adalah 20 buah, dan banyaknya anak adalah 9 orang, sehingga jika setiap anak diberikan sebuah dodol, maka akan tersisa 11 dodol.

14.   Pembahasan :

Diketahui  dan . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh hubungan:

                     ….(i)

                        ….(ii)

Jadi,

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh:

Karena panjang   merupakan bilangan bulat, maka

Jadi, banyaknyasegitiga  yang berbeda yang dapat dibuat adalah 15 buah.

15.  Pembahasan :

Jarakterdekatakanterjadijikagaris yang melaluititik  tegak lurus dengan garis . Gradien garis adalah  .

Agar garis yang melaluititik  tegak lurus dengan garis , maka gradien garis tersebut adalah .

·   Titik  dilalui oleh garis  maka  …. (i)

·          ….(ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh:

Substitusi  ke persamaan (i) diperoleh

.

Dengan demikian . Jadi, titik terdekat pada garis  yang jaraknya paling dekat ke titik  adalah .

16.   Pembahasan :

LuasLingkaran = πr² = 9π, sehingga r² = 9 → r = 3

AB = 2r

Segitiga ABC adalahsegitigasiku-siku di C sama kaki, jikaditarikgaristegaklurus AB melalui C, makaakanterbentukgaristinggi yang panjangnya r.

LuasSegitiga ABC =

 =

= r² = 9

17.   Pembahasan :

Misal: a = banyaknyamurid yang membayariuran

             b = banyaknyaiuransetiapmurid

jadi a + 4 = banyaknyamuridkeseluruhan

makasistempersamaan yang diperoleh:

( a + 4) b = 96.000      èab+4b=96.000……………(i)

a (b+2000) = 96.000   èab + 2000 a =96.000…………..(ii)

dari (i) dan (ii) è ab + 4b = ab + 2000 a

                                        b = 500 a.............................(iii)

substitusi (iii) ke (ii) menjadi

ab + 2000a = 96.000

500 a² + 2000 a = 96.000

a² + a – 192 = 0

( a – 12 ) ( a + 16 ) = 0

 a = 12  atau a = - 16

Karena banyaknya siswa adalah bilangan bulat positif maka dipilih a = 12

18.   Pembahasan :

è

                                       

è

                                       

Sehingga

                       

        Karena 0 < a < b ini berarti a-b bernilai negatif jadi

19.  Pembahasan :

Karena hanya ada tiga digit yang tidak masuk ke dalam digit-digit dari n maka sesuai dengan Pigeon Hole Principle maka sedikitnya satu dari 2, 4, 6 atau 8 adalah digit dari n. Akibatnya n genap.

Karena 0 tidak membagi bilangan manapun maka 0 tidak termasuk digit darin.

Andaikan 5 adalah digit dari n maka angka satuan dari n harus 0 atau 5. Karena 0 tidak termasuk digit dari n maka angka satuan n adalah 5. Kontradiksi dengan kenyataan bahwa n genap. Maka 5 tidak termasuk digit dari n.

Andaikan 9 tidak termasuk digit dari n maka penjumlahan digit n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 = 31.

Karena 3 termasuk digit dari n maka penjumlahan digit n harus habis dibagi 3. Tetapi 31 tidak habis dibagi 3. Maka 9 termasuk digit dari n.

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 ≡ 4 (mod 9). Maka 4 harus dibuang dari digit-digit n.

Maka ketiga digit yang tidak termasuk ke dalam digit dari n adalah 0, 4 dan 5.

(Catatan : Contoh bilangan tersebut adalah 9231768)

20.  Pembahasan :

C^B = SD

SD adalahbilanganpangkatdua digit, karena D = 1 maka B tidakmungkin = 1, sehingga SD yang mungkinadalah 81.

SD = 81 = 9² = 3⁴

Jika C^B = SD = 9² ,maka C = 9 dan B = 2

                                        B^C = 2⁹ = 512 ,sedangkan 512 bukanbilangandua digit.

                                        Jadi, C = 9 dan B = 2 tidakmemenuhi.

Jika M^L = 3⁴ ,              maka C = 3 dan B = 4

                                        B^C = 4³ = 64 = AB            

                                      Maka A = 6

B^A = 4⁶ = 4096 = BUTA

                                        Maka B = 4, U = 0, T = 9, A= 6

Jadi, T^U = 9⁰ = 1

SOAL

1.       Menurut Gagne, secara garis besar ada 2 macam objek yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu objek-objek langsung (direct objects) dan objek-objek tak langsung (indirect objects). Sebutkan empat objek langsung dalam matematika.

2.       Pemecahan masalah merupakan aktivitas intelektual yang paling tinggi. Pemecahan masalah harus didasarkan atas adanya kesesuaian dengan struktur kognitif yang dimiliki siswa, supaya tidak terjadi stagnasi. Menurut Polya, dalam memecahkan masalah ada empat tahapan yang dilakukan. Sebutkan empat tahapan pemecahan masalah menurut Polya.

3.       Bu Diah akan mengajarkan konsep luas lingkaran dengan menggunakan media lingkaran yang dipotong menjadi beberapa juring. Berikut ilustrasinya.

 

Tuliskan lintasan belajar(urutan proses pembelajaran)yangperlu dilakukan Bu Diah.

4.       Untuk mencapai tujuan pembelajaran ”Siswa dapat menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika”, pak Amin menyusun sebuah bahan ajar (LKS) dengan menggunakan pembelajaran teori konstruktivime. Tuliskan langkah-langkah untuk menentukan suku ke-n dengan bahan ajar tersebut.

5.       Ketika Bu Siti pulang ke rumah, dia baru mengetahui bahwa pot bunga di depan rumah pecah. Bu Siti mengumpulkan keempat anaknya dan menanyai siapa yang memecahkan pot bunga tersebut. Berikut pernyataan keempat anaknya.

Tina : Saya tidak melakukannya.

Andi : Saya tidak melakukannya dan Tina juga tidak melakukannya.

Mira : Saya tidak melakukannya dan Andi juga tidak melakukannya.

Sari : Tina tidak melakukannya dan Andi tidak melakukannya.

Beberapa waktu kemudian Bu Siti mengetahui bahwa hanya ada satu anaknya yang berkata bohong. Siapakah yang memecahkan pot bunga Bu Siti?

6.       Aldimempunyai4bolabiru,7bolamerah,dan13bolahijauyangditempatkandalamsuatu kardus. Jika Aldiinginmengambilbola-bolatersebutdenganmatatertutup,berapakahminimum bolayangharus diambilAldi untuk memastikan terambil 3 bolauntuk setiap warna?

7.       Misalkan:  , hitunglah nilai dari:

8.       Misalkan F=171819202122…979899. Tentukan bilangan bulat terbesar m sehingga  habis membagi  F.

9.       Dona dan Doni mendapat tugas mengerjakan soal. Jika Dona mengerjakan sendiri, tugas itu dapat diselesaikan dalam 4 jam sedangkan jika Doni mengerjakan sendiri, tugas itu selesai dalam waktu 3 jam. Pada pukul 07.45 mereka mulai mengerjakan bersama. Setelah kertas habis, Doni pergi untuk membeli kertas selama 25 menit. Setelah itu, Doni menyelesaikan tugasnya sendiri sementara Dona  mendapat tugas lain. Jika tugas Doni selesai pada pukul 10.10, pukul berapakah ketika kertas habis?

10.   Segitiga 1 adalah segitiga sama sisi, dengan panjang sisi b.Di dalam segitiga 1 terdapat segitiga sama sisi 2 yang titik sudutnya terletak di tengah–tengah sisi segitiga 1. Di dalam segitiga sama sisi 2 terdapat segitiga sama sisi 3, dan seterusnya(lihat gambar). Hitung luas segitiga sama sisi yang ke 11, nyatakan dalam b.

11.   Suatu fungsi memenuhi persamaan berikut   + =  . Tentukan nilai f(7)!

12.   Diketahui tiga bilangan bulat  a, b, dan c. Jika

Maka tentukan nilai dari7a + b - c !

13.   Bang Temon hendak membagikan sejumlah dodol kepada sejumlah anak. Jika setiap anak diberikan 2 dodol, maka ada 2 dodol yang tersisa. Jika setiap anak diberikan 3 dodol, maka ada 2 anak yang tidak mendapat bagian, dan ada seorang anak yang mendapatkan 2 dodol. Berapakah banyaknya dodol yang tersisa jika setiap anak diberikan sebuah dodol?

14.   Diketahui segitiga  dengan  dan . Apabila panjang  merupakan bilangan bulat, berapakah banyak segitiga  yang berbeda yang dapat dibuat?

15.   Titik pada garis  yang jaraknya paling dekat ke titik  adalah….

16.  

A

B

C

Perhatikan gambar berikut!

Besar  BAC adalah 45^o dan AB adalah diameter lingkaran. Jika Luas Daerah Lingkaran tersebut adalah 9π satuan luas, hitunglah luas daerah segitiga ABC!

17.   Sejumlah murid SMP Mekar Sari ingin mengumpulkan uang sebanyak Rp. 96.000,00 di mana semua murid membayar sama. Ternyata ada 4 orang yang tidak dapat membayar. Untuk menutupi kekurangannya murid-murid menambah iurannya masing-masing Rp. 2000,00. Tentukan banyaknya murid yang membayar iuran!

18.   Tentukan  jika   untuk a dan b  dan 0 < a < b !

19.   Sebuah bilangan asli n terdiri dari 7 digit berbeda dan habis dibagi oleh masing-masing digitnya. Tentukan ketiga digit yang tidak termasuk ke dalam digit dari n.

20.   SD adalah bilangan dua digit dengan S ≠ D. Dalam tiga buah persamaan berikut, masing-masing huruf menyatakan angka yang berbeda dan diketahui D = 1.

C^B = SD                 B^C = AB                                                B^A = BUTA

Tentukan nilai dari T^U!